运算不只是操作，更是一种数学特有的思维状态，是思维能力与运算技能的结合。小学运算教学的核心是算理和算法，因运算内容的重点、难点、关键点的不同，运算课大致可以分为两类：一类是由“算理”到“算法”的探究课；另一类是由“算法”到“算理”的类推课，无论哪种课型都需要借助直观模型，通过数形结合的方式维持法理平衡。直观模型的使用可以在算理和算法之间架起一座沟通的桥梁，直观演绎算理，清晰感悟算法，使数的运算真正回归到思维层面。

　　剖析算理内涵，经历模型建构过程

　　纵观人教版小学数学教材，运算内容具有递进关系，每一种新的运算单元教学中，首例题的教学都是解决“为什么这样算”的问题，而其余例题则是在掌握了算理的基础上教学的，研究的是“怎样算”的问题。例如：“两位数除以一位数”的笔算除法，既是商一位数的除法延续，又是商多位数的除法基础，具有承上启下的作用。由于数据较小，作为承载解决算理任务的例1和例2，可以选择小棒作为直观模型，实施由“算理”到“算法”的探究教学。

　　例1：(42÷2)的教学重点是除的顺序和竖式的写法，教学时可以让学生先想象再操作，通过“把4个十平均分成2份，每份商是2个十”，让学生理解“2为什么要写在十位上”；通过“把2个一平均分成2份，每份商是1个一”，使学生明白“1为什么要写在个位上”。学生经历了从直观模型的操作中提炼出除法竖式的过程，也就明白了除法竖式“为什么这样写”的道理。

　　例2：（52÷2）的教学要突破“当十位上的数除后还有余数，该怎么办”的教学难点，解决“为什么这样算”的问题。教学时要动态呈现两次平均分的过程，让学生感受到“5个十平均分成2份”，不能正好分完，还有剩余，在第二次分的时候要将“剩下的1个十和2个一合起来”继续分。直观模型的使用还原了最简单，最直观的道理，帮助学生建构了笔算除法的运算模型，使“理”更清。

　　明晰算法关键，体验算法形成过程

　　现行小学数学教材有不同版本，对比人教版、苏教版和北师大版等教材，我们不难发现同一运算内容在直观模型的选择上存在差异，有的版本教材会使用直观模型，有的却没有使用直观模型。教材中没有使用直观模型，我们的教学是否就可以不使用直观模型呢？这儿就出现了一个“教教材”和“用教材教”的问题。

　　例如：三位数除以一位数商两位数的除法（256÷6）是在学生理解了除法竖式每一步的算理，掌握了“除→乘→减→比→落”的计算顺序基础上教学的，学生学习的困难点是“商的最高位为什么要写在十位上”。教学时，如果只依靠笔算经验进行算法迁移的话，学生仅仅是数字的操作工，他们的运算能力仍停留在“知其然”的机械化操作程度；但如果在算法迁移后借助直观模型演绎算理的话，学生的运算能力才能上升到“知其所以然”的意义化操作高度。

　　鉴于此，教师可以实施由“算法”到“算理”的类推教学，先让学生进行笔算尝试，然后借助直观模型验证算法，运用第纳斯方块演示算理，由“2个百平均分成6份，每份不够商1个百，怎么办？”引发学生的思考，启发学生将2个百变成20个十，与5个十合起来平均分，每份商是4个十，所以4要写在十位上。直观模型的使用突破了算理关键，清除了学习障碍，使“法”更明。

　　解析运算核心，把握模型使用契机

　　教材作为教师教学和学生学习的载体，对我们的教与学具有重要的指导意义。运算教学要建立在了解教材编写意图的基础之上，只有对教材进行深刻的解读，准确把握运算核心，才能确定课型，选择适合的直观模型进行教学。

　　以三年级下册“除数是一位数的笔算除法”为例，教材安排了7个例题，按照“由易到难”的原则，先编排“两位数除以一位数”的除法，再编排“三位数除以一位数”的除法；按照“由一般到特殊”的原则，先编排“商中间没有0”的除法，再编排“商中间、末尾有0”的除法，这样编排的目的就是想采取各个突破的办法来克服笔算除法的难点。

　　“两位数除以一位数”有两个例题，例1解决的是“为什么这样写”的问题，例2解决的是“为什么这样算”的问题，教学的核心是算理，直观模型的主要作用就是解读算理，所以必须依靠直观模型的支撑，实施由“算理”到“算法”的探究教学；“三位数除以一位数”，不管商是三位数还是两位数，不管商中间有没有0，教学的核心都是算法的掌握，解决的是“怎样算”的问题，学生完全可以利用已有的笔算经验进行迁移类推，直观模型的主要作用就是验证算法，所以实施由“算法”到“算理”的类推课自然也就会水到渠成。

　　由此可见，无论是由“算理”到“算法”的探究课，还是由“算法”到“算理”的类推课，都必须为学生提供直观模型素材，借模明理，据模悟法，使学生对数的运算由感性认识上升到理性思维的高度，促进学生的深度学习。

　　（平定县实验小学　戎芳芳）